Сечение сферы плоскостью. Шар как геометрическая фигура

Представляет плоскую кривую - окружность, принадлежащую секущей плоскости.
Построить сечение сферы плоскостью общего положения β

Так как секущая плоскость общего положения, то эта окружность проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов. Для построения эллипса необходимо знать размеры эллипса по его осям большой и малой.
Для тел вращения, к каковым относят цилиндр, конус и сферу, линия сечения может быть построена с характерными точками кривой к которым относятся:
- точки в которых меняется знак видимости;
- точки в которых ее координаты принимают максимальные и минимальные значения:
- x max ; x min ;
- y max ; y min ;
- z max ; z min ;
Использование характерных точек позволяет выполнить более точное построение линии пересечения поверхности вращения и плоскости.

Решение задачи на сечение сферы плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость β из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости β и проекцию шара. На следе плоскости β V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след. Линия сечения шара - точки A" 1 , B" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее на фронтальной плоскости проекций V 1 построим центр окружности сечения - точку C" 1 которую получим восстановив перпендикуляр из центра шара (точка 0" 1 ) к [A" 1 B" 1 ] на их пересечении. Далее включаем обратное проецирование: через точки A" 1 , B" 1 и C" 1 проводим горизонтали h принадлежащие плоскости β , и на плоскости проекций H через центр шара проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 . Горизонтальный след плоскости γ 1 пресечет проекцию горизонтали h и определит в этом месте точку C` - центра окружности сечения. Горизонталь h` пересекает проекцию шара в точках D` и E` , определяя тем самым действительную величину отрезка [DE ] - большой оси эллипса. Аналогично строятся точки A` и B` , определяющие величину отрезка [A`B` ] - малой оси эллипса.

Проекции большой и малой оси эллипса на горизонтальную плоскость проекции H найдены, а это означает что эллипс - проекция окружности сечения на H может быть построен, смотри статью: Окружность

Повторим те же действия на для фронтальной плоскости проекций V и построим другой эллипс - проекцию окружности сечения на V .

Для нахождения точек указывающих границы видимости горизонтальной проекции окружности сечения

проводим через центр шара фронтально-проецирующую плоскость γ 2 ⊥ V β по горизонтали h(h`, h") . Линия h` пересекается с горизонтальной проекцией окружности сечения по точкам 5,6 указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на фронтальной проекции ниже следа плоскости γ 2 , на горизонтальной плоскости проекции H 5`, 6` ] - и будут на ней невидимы.

Для нахождения точек указывающих границы видимости фронтальной проекции окружности сечения. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 ⊥ H , которая пересечет плоскость β по фронтали f(f`, f") . Линия f" пересекается с фронтальной проекцией окружности сечения по точкам 7", 8" указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на горизонтальной проекции выше следа плоскости γ 1 , на фронтальной плоскости проекции V будут располагаться слева от отрезка [7", 8" ] - и будут на ней невидимы.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.

Задачи

Задача 1 . Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару

Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

1. Изображение шара. Пусть F 0 – шар. Выберем направление проектирования и рассмотрим касательные к шару, принадлежащие выбранному направлению. Эти касательные образуют цилиндрическую поверхность и проходят через точки большой окружности шара, плоскость которой перпендикулярна направлению проектирования.

Выберем плоскость изображения. В общем случае цилиндрическая поверхность пересечет эту плоскость по эллипсу, а проекция F 1 шара F 0 будет частью плоскости, ограниченной этим эллипсом. Такое изображение шара не является наглядным (рис. 59). Если плоскость изображения выбрать перпендикулярной направлению проектирования, то изображением шара будет круг F . Круг, конечно, дает о шаре более наглядное представление, но в круг можно спроектировать и равный ему круг, и цилиндр (если проектирование вести параллельно его образующим).

Прежде чем продолжить разговор о том, как сделать изображение шара наглядным, вспомним известные со школы понятия, связанные с шаром. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом , а его окружность – экватором. Точки пересечения прямой, перпендикулярной плоскости экватора, с поверхностью шара называются полюсами, соответствующими этому экватору, а соединяющий их диаметр – полярной осью .

Если на проекционном чертеже шара изобразить какой-либо экватор и соответствующие ему полюсы, то у изображения появится объемность. Оно станет наглядным.

Какой экватор изображать? Во-первых, желательно, чтобы отрезок, соединяющий изображения полюсов, был на чертеже вертикальным. Это желание будет выполнено, если плоскость изображения p будет вертикальной, а плоскость a , проходящая через полюсы N 0 , S 0 шара, – ей перпендикулярной и тоже вертикальной. (Напомним, что мы договорились использовать ортогональное проектирование.) Более того, можно считать, что плоскость изображения p проходит через центр шара, и, значит, пересекает его по окружности большого круга. Эту окружность обычно называют очерковой окружностью шара.

Обозначим точки пересечения прямой с поверхностью шара буквами P 0 и Q 0 . Если плоскость экватора также выбрать перпендикулярной плоскости p , то экватор и диаметр, соединяющий полюсы, изобразятся перпендикулярными диаметрами окружности (рис. 60) и изображение шара не станет нагляднее. Поэтому плоскость экватора не должна быть перпендикулярной плоскости изображения. На рис. 61 дано сечение шара плоскостью a . На этом рисунке P 0 Q 0 – прямая пересечения плоскостей a и p ; C 0 D 0 – пересечение a и экваториального круга, N 0 S 0 – диаметр, соединяющий полюсы. При проектировании на плоскость p полюсы N 0 и S 0 спроектируется в точки N и S соответственно, диаметр C 0 D 0 экватора – в малую ось эллипса, изображающего этот экватор.

Большая ось эллипса (рис. 62) будет проекцией диаметра экватора, перпендикулярного диаметру и, следовательно, параллельного плоскости .

Чтобы указать положение полюсов, вернемся к рис. 61. Прямоугольные треугольники и на этом рисунке равны по гипотенузе и острому углу (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому . Но в свою очередь , где – отрезок касательной к эллипсу, изображающему экватор (рис. 62).

Итак, наглядное изображение шара можно построить следующим образом:

1) Строим эллипс, который принимаем за изображение экватора, и его оси.

2) Проводим окружность с центром в центре эллипса, радиус которой равен большой полуоси эллипса.

3) Строим отрезок касательной к эллипсу, параллельные его большой оси, а затем изображения полюсов.

На рис. 63 показана достаточно типичная ошибка, когда полюсы изображаются на очерковой окружности, а экватор при этом изображен эллипсом.

2. Изображение параллелей и меридианов. Рассмотрим изображение полюсов и меридианов сферы, являющейся поверхностью шара. Напомним, что параллелями сферы называются ее сечения плоскостями, параллельными плоскости экватора. Сечения сферы плоскостями, проходящими через полярную ось, называются меридианами.

Через каждую точку сферы, отличную от полюса, проходит точно один меридиан и одна параллель. Каждый меридиан проходит через оба полюса.

Параллели и меридианы являются окружностями, поэтому также изображаются эллипсами.

Начнем с изображения параллелей. Параллель будет определена, если задать точку, в которой ее плоскость пересекает полярную ось. Поскольку плоскость параллели параллельна плоскости экватора, изображением параллели будет эллипс, подобный эллипсу, изображающему экватор.

Для построения этого эллипса рассмотрим сечение сферы (шара) плоскостью, проходящей через полярную ось перпендикулярно плоскости изображения (правая часть рис. 64). Построенное вспомогательное сечение позволяет легко найти малую ось эллипса, изображающего экватор, и изображения соответствующих ему полюсов.

Пусть параллель задана точкой , тогда плоскость параллели пересекает шар по отрезку , перпендикулярному оси . Этот отрезок равен большой оси эллипса, являющегося изображением параллели. Малая ось находится с помощью проектирования точек , на прямую . Наконец, с помощью прямой находятся точки , касания изображения параллели с очерковой окружностью. Точки , разделяют видимую и невидимую части изображения параллели.

При построении эллипса, являющегося изображением параллели, совсем не обязательно строить эллипс, являющийся изображением экватора, которому он подобен. Более того, можно отдельно не выполнять и построение вспомогательного сечения (рис. 65).

Как можно увидеть из рис. 66, в каждом из полушарий можно построить по эллипсу-параллели, которые касаются очерковой окружности только в одной точке. В верхнем полушарии изображения параллелей, лежащих севернее такой параллели будут полностью видимыми, а в нижнем полушарии изображения параллелей, лежащих южнее такой параллели – полностью невидимыми.

Задача. Построить изображение цилиндра, вписанного в шар, если высота цилиндра равна радиусу шара.

Решение. Построим изображение очерковой окружности шара и на ее вертикальном диаметре отметим изображения полюсов (рис. 67).

На этом же диаметре строим изображения центров , оснований цилиндра. Из условия задачи , где – радиус шара, равный радиусу очерковой окружности. Поэтому . Тем самым задано положение параллелей. В соответствии с рассмотренными правилами строим эллипс-изображение верхнего основания. Эллипс, изображающий нижнее основание, можно получить с помощью параллельного переноса на вектор .

В заключение рассмотрим, как строится изображение меридианов, если задано изображение сферы, ее экватора и соответствующих ему полюсов.

Пусть задано изображение точки , через которую проходит изображаемый экватор (рис. 68). В оригинале диаметр перпендикулярен полярной оси , поэтому отрезки , являются сопряженными диаметрами эллипса, изображающего рассматриваемый меридиан. Значит, эллипс – изображение меридиана – по этим сопряженным диаметрам можно построить.

При построениях меридиана «от руки» обычно дополнительно ищут точки , касания эллипса с очерковой окружностью (рис.68). Диаметр очерковой окружности для эллипса будет большой осью, причем , а значит, диаметр сферы параллелен плоскости проекции.

Точки и можно найти из следующих соображений. Построим диаметр эллипса-экватора, сопряженный диаметру . В оригинале , , поэтому диаметр перпендикулярен плоскости рассматриваемого меридиана. Отсюда следует, что , но тогда и (проектирование ортогональное). Точки и разделяют видимую и невидимую части изображения меридиана.

Изображение теней

Иногда для придания чертежу большей наглядности используют тени. Кроме того, построение теней – интересная геометрическая задача, способствующая развитию пространственного мышления, сущность которой состоит в следующем.

Пусть из светящейся точки прямолинейно во всех направлениях распространяются лучи света. Если луч встречает на своем пути непрозрачное тело , то он задерживается на нем и не доходит до некоторого экрана . На последнем при этом образуется темная область , которую называют падающей тенью от тела (рис. 69).

Само тело при этом также оказывается разделенным на две части: освещенную и темную (неосвещенную). Темную часть тела называют его собственной тенью .

Границу падающей тени образуют точки пересечения с экраном лучей, касающихся поверхности тела и образующих световой конус с вершиной точке . Линия, вдоль которой эти лучи касаются поверхности тела, называется линией раздела света и тени.

В случае, представленном на рис. 69, освещение называется факельным , такое же название имеет и соответствующая тень. Подобного рода освещение возникает при использовании источников искусственного освещения: электрической лампочки в комнате, фонаря на улице, пламени свечи и т.п.

Можно считать, что естественные источники (солнце, луна) находятся в бесконечности и лучи от них являются параллельными. Поэтому освещение, производимое пучком параллельных лучей, называют солнечным. Солнечное освещение показано на рис. 70.

Для того чтобы перейти к задачам на построение теней, условимся о том, как будем задавать лучи света на проекционном чертеже. При солнечном освещении такой световой луч можно задать прямой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 71). Пусть требуется построить падающую тень от точки на основную плоскость (экран). Чтобы сама точка была определена, необходимо указать ее проекцию на основную плоскость. Построение тени сводится к отысканию точки пересечения прямой, проходящей через точку параллельно , и прямой, проходящей через точку параллельно . Заметим, что при этом отрезок является падающей тенью отрезка .

При факельном освещении на проекционном чертеже надо задать точку, являющуюся световым источником. Она определяется точкой и ее проекцией на основную плоскость (рис. 72). Здесь падающая тень точки – точка пересечения прямых и .
Ясно, что в качестве экрана можно выбирать не только основную плоскость. Наиболее интересные случаи построения теней имеют место именно тогда, когда приходится строить падающие тени на другие плоскости. (Например, падающую тень одного многогранника на поверхность другого.)

Задача 1. На рис. 73 изображены треугольная пирамида, ее высота и параллелепипед. Построить собственные и падающие тени этих непрозрачных фигур при заданном освещении.

Решение. Имеем дело с солнечным освещением. Прежде всего, найдем падающую тень параллелепипеда на основной плоскости . Падающей тенью ребра является отрезок , где , . Аналогично находятся падающие тени , ребер , соответственно. Отсюда следует, что – падающая тень грани , а – падающая тень грани (частично закрыта изображением параллелепипеда). Попутно отметим, что – собственная тень параллелепипеда.

Чтобы найти падающие тени пирамиды на гранях параллелепипеда, найдем сначала ее падающую тень на основной плоскости . Это треугольник ( , ), треугольник будет собственной тенью пирамиды. Проектирующая плоскость прямой пересекает грань параллелепипеда по отрезку . Проведя через точку прямую, параллельную , находим падающую тень вершины на верхнем основании параллелепипеда. Прямые , , проходящие через точку параллельно прямым , соответственно, определяют падающую тень пирамиды на верхнем основании параллелепипеда.

Остается найти падающую тень на боковой грани параллелепипеда. Для этого заметим, что – след плоскости на основной плоскости. Грань пересекает след в точке , а точка принадлежит плоскостям и . Отсюда заключаем, что плоскость пересекает боковое ребро параллелепипеда в точке , и строим падающую тень пирамиды на грани .

Cтраница 1

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.  

Сечение шара плоскостью всегда представляет собой круг. На рис. 153 показан шар, пересеченный горизонтальной плоскостью R и фронтально-проектирующей плоскостью Q, заданных следами Rv и Qv. Он проектируется на плоскость Н также в виде круга, имеющего общий центр с очерком горизонтальной проекции шара. Для определения крайних точек t и t большой ог. Промежуточные точки эллипса, например / i и / 2, могут быть получены приемом, описанным при решении аналогичной задачи при построении точек, лежащих на поверхности шара.  

Сечение шара любой вертикальной плоскостью, проходящей через центр, дает большой круг, называемый меридианом.  

Сечение шара плоскостью, расположенной от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса, есть круг.  

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по кругу, диаметр которого равен диаметру шара. Для построения изображения усеченного шара строят проекции осей эллипса, а также точек эллипса, лежащих на очерковых образующих шара.  

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам.  

Сечение шара, проходящее через ось конуса - большой круг шара, в который вписан ДЛВ5 (рис. 185), где [ ЛВ ] - диаметр основания конуса.  

Сечение шара плоскостью, проходящей через основание пирамиды, есть круг, в который вписан ДЛВС. Так как С 90, то центр этого круга О лежит на середине гипотенузы.  

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом. Кйсательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы и проходила через его конец.  

Поэтому сечение шара, проходящее через его центр и касающееся основания пирамиды, будет являться кругом, вписанным в треугольник SEF, где SE и SF - апофемы боковых граней, a EF - высота ромба.  

Рассмотрим сечение шара, проходящее через ось усеченного конуса. В сечении мы получим круг, в который вписана трапеция ABCD.  

Каждое сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, дает большой круг.  

О Сечение шара, проходящее через ось конуса - это большой круг шара, в который вписан Д ABS (рис. 339), где [ АВ ] - диаметр основания конуса.  

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Сечение шара плоскостью

125. Определение . Тело, происходящее от вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром , а поверхность, образуемая при этом полуокружностью, называется шаровой или сферической поверхностью. Можно также сказать, что эта поверхность есть геометрическое место точек, одинаково удалённых от одной и той же точки (называемой центром шара).

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом , а отрезок, соединяющий две точки поверхности и проходящий через центр, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

126. Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

1) Предположим сначала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ проходит через центр О шара. Все точки линии пересечения принадлежат шаровой поверхности и поэтому одинаково удалены от точки О, лежащей в секущей плоскости; следовательно, сечение есть круг с центром в точке О.

2) Положим теперь, что секущая плоскость СО не проходит через центр. Опустим на неё из центра перяендикуляр OK и возьмём на линии пересечения какую-нибудь точку М. Соединив её с О и А, получим прямоугольный треугольник МОК, из которого находим:

MK =√OM 2 - ОК 2 . (1)

Так как длины отрезков ОМ и ОК не изменяются при изменении положения точки М на линии пересечения, то расстояние МК есть величина постоянная для данного сечения; значит, линия пересечения есть окружность, центр которой есть точка К.

127. Следствие. Пусть R и r будут длины радиуса шара и радиуса круга сечения, а
d - расстояние секущей плоскости от центра, тогда равенство (1) примет вид:
r =√R 2 - d 2 .

Из этой формулы выводим:

1) Наибольший радиус сечения получается при d = 0, т. е. когда секущая плоскость проходит через центр шара . В этом случае r =R. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом .

2) Наименьший радиус сечения получается при d = R. В этом случае r = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.

3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.

4) Из двух сечений, неодинаково удалённых от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус.

128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Возьмём на поверхности шара какую-нибудь точку А; пусть АВ есть перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы получим два равных прямоугольных треугольника
АОВ и ВОС (общий катет ВО, а гипотенузы равны, как радиусы шара); следовательно, АВ = ВС; таким образом, всякой точке А поверхности шара соответствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара на две симметричные части.

Эти части не только симметричны, но и равны, так как, разрезав шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую и совместить эти части.

129. Теорема. Через две точка шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну .

Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О, взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной прямой с точкой О. Тогда через точки С, О к N можно провести плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении с шаровой поверхностью окружность большого круга.

Другой окружности большого круга через те же две точки С и N провести нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей через центр шара; следовательно, если бы через С и N можно было провести ещё другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что через три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести две различные плоскости, что невозможно.

130. Теорема. Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам.

Центр О (черт. 139), находясь на плоскостях обоих больших кругов, лежит на прямой, по которой эти круги пересекаются; значит, эта прямая есть диаметр того и другого круга, а диаметр делит окружность пополам.