Понятие множества. Способы задания множеств

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Например, перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Квантор

При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".
∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.

Пример 1

Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

Рассмотрим теперь кратко простые теоретико-множественные понятия и теоретико-множественные операции: пересечение, объединение, дополнение, декартово произведение и др. Для случая конечных множеств они лежат в основе арифметических действий над натуральными числами и поэтому очень важны для школьной математики. Мы ограничимся совсем краткими определениями и пояснениями.

Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком. Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например= {х | xх}, в области множеств оно играет как бы роль нуля.

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Отношение между множеством М и любым его подмножеством N называется включением и обозначается символом: МN.

Отметим следующие элементарные утверждения о понятиях подмножества и включения, прямо вытекающих из определения.

а) Каждое множество М является подмножеством самого себя: ММ. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М; соответствующее включение также называется собственным и обозначается: МN. Принято считать, что пустое множествоявляется подмножеством любого множества М.

б) Отношение включения транзитивино, т. е. из NМ и РN следует, что РМ. Транзитивно также отношение собственного включения.

в) Очень важно не смешивать отношения принадлежностии включения: если {а}М, то аМ, и наоборот; но из {a}М не следует {а}М. Так, например, если М = {1, 2}, то это означает, что 1М и 2М, но для всех других объектов х справедливо хМ; для включения же правильны следующие утверждения:

М, {1}М, {2}М., {1, 2}М.

Другой пример. Пустое множествоне имеет элементов хM для любого объекта х. Между темсодержит одно подмножество, а именно само себя.

Введем несколько операций над множествами.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: МN = {х|хМ и хN}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: MN = {х | хМ или хN }.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | хМ и хN}.

г)Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N.

Обозначение: MN ={ x | (xМ и хN) или (хN и хМ)}.

Введенные теоретико-множественные операции наглядно иллюстрируются рисунком 2, где множества М и N изобрансены пересекающимися кругами:

МN - точки области II;

МN - точки областей I, II, III;

М \ N - точки области I;

N \ М - точки области III;

MN - точки областей I и III.

д) В конкретных математических областях бывает полезно ввести в рассмотрение столь обширное множество U, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество U принято называть универсальным множеством или универсумом. Отметим, что "универсальное множество" понятие относительное: оно выбирается для какого-нибудь определенного раздела науки и притом часто даже явно не определяется, а просто подразумевается.

Так, например, в элементарной планиметрии в качестве универсального множества принято рассматривать множество всех точек плоскости. Различные фигуры, изучаемые в планиметрии, можно считать множествами точек, т. е. подмножествами так выбранного универсального множества.

В элементарной арифметике универсальным множеством считается множество Z всех целых рациональных чисел и т. д.

е) Если выбрано некоторое универсальное множество U , то возникает новая теоретико-множественная операция - дополнение. Для всякого множества М (при этом подразумевается, что М - подмножество универсального множества U его дополнение, обозначаемое через М , - это множество всех элементов универсума, которые не принадлежат множеству М:

М = {х | хU и xM}

Таким образом, дополнение - это частный случай разности:

M = U \ M,
все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно фиксированного множества, содержащего все множества, которые в данной связи рассматриваются.

Рассмотрим теперь операции декартового произведения множеств. Пусть A и B - два множества. Тогда множество C = {(a, b) | aA, bB}
всех пар (a, b), где a и b независимо друг от друга принимают все значения соответственно из множеств A и B называется декартовым произведением множеств А и В и обозначается через А х В. Если А и В - конечные множества, содержащие соответственно m и n элементов, то сразу видно, что множество А х В содержит mn элементов.

Самостоятельный интерес представляет тот частный случай, когда множества А и В совпадают: А = В. Чтобы его рассмотреть, вы введем новый термин.

Упорядоченной парой элементов множества А будем называть объект (а 1 , а 2), состоящий из двух (не обязательно различных) элементов а 1 , а 2 А, с указанием, какой из них следует считать первым, а какой - вторым. Так, например, если А = {1, 2, 3, 4., 5}, то упорядоченные пары (2, 3) и (3, 2) следует считать по определению различными. Упорядоченными парами элементов из А считаются также объекты (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5). Упорядоченные пары мы будем заключать в круглые скобки и обозначать жирными строчными латинскими буквами: a = (а 1 а 2), в отличие от неупорядоченных пар, которые, как и множества элементов, записываются в фигурных скобках: {а 1 а 2 }.

Назовем множество

С = {(а 1 , а 2) | a 1 А, a 2 А}
всех упорядоченных пар (а 1 а 2) элементов из А декартовым квадратом множества А и будем обозначать его через A 2 .

Рассмотренные свойства множеств и операции над ними в неявном, виде присутствуют в начальном преподавании арифметики. Мы особенно подчеркиваем, что речь идет об их неявном присутствии: бессмысленно было бы в I или II классе давать явные определения арифметических действий. Само слово «действие» для арифметических операций указывает на то, что на начальном уровне развития детей сложение, вычитание, умножение и деление возникают как действия над конкретными множествами из мира, свойственного школьникам. Вековой опыт обучения на всех уровнях показывает, что человек обычно сначала делает нечто, а лишь затем задумывается над тем, какими же общими свойствами обладают его действия.

Теоретико-множественное обоснование арифметических действий над натуральными числами дается довольно элементарно, так как более строгое обоснование оказывается достаточно трудоемким и мы не имеем возможности провести его здесь со всей необходимой тщательностью. Как мы уже говорили, с точки зрения теории множеств натуральные кардинальные числа отвечают классам равнамощных конечных множеств, к ним, естественно, присоединяется и число нуль как кардинальное число, соответствующее пустому множеству. Тогда элементарные отношения и действия над натуральными числами вводятся следующим образом.

1.Отношение «равно», «больше», «меньше» . Пусть m и n - два натуральных числа и пусть М и N - два множества, кардинальные числа которых суть соответственно m и n. Тогда m меньше n (а n больше m), если множество М равномощно некоторому собственному подмножеству множества N. Как видно из этого же определения, m = n означает, что множества М и N равномощны. Для оправдания такого определения необходимо, конечно, показать, что оно не зависит от выбранных множеств М и N. Иначе говоря, надо доказать, что если М" и N" - два других множества с числом элементов m и n соответственно и если при этом М равномощно собственному подмножеству множества N", то и М" равномощно собственному подмножеству множества N", и наоборот. Это доказательство мы предоставим читателю. Отметим, что определение неравенства для бесконечных кардинальных чисел получается более сложным.

2.Сложение. Для определения суммы кардинальных чисел поступают так. Пусть m и n - два натуральных числа. Выбираем опять произвольно два непересекающихся множества М с m N с n элементами соответственно, и пусть S - их объединение: S = MN. Тогда по определению сумма s = m + n - это кардинальное число множества S. Покажем, что сумма s от выбора множеств M и N не зависит, а зависит только от их мощностей. Пусть М" и N"- другие множества, равномощные множествам М и N соответственно, и пусть при этом также M"N" =; тогда S" = М"N" равномощно множеству S = МN. Следует все время иметь в виду, что кардинальное число объединения есть сумма кардинальных чисел объединяемых множеств, только если последние не имеют общих элементов (имеют пустое пересечение). В случае пересекающихся множеств имеет место более общее, правило.

Что такое множество в математике? Математическое множество - это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество - буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:

проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а - элемент А.

Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки - {}. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:

Виды множеств.

Пустые множества.

Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.

Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие , противоречащее самому себе - «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).

Равные множества.

Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».

Если два множества - А и B - состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}.

Подмножества и надмножества.

Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B - надмножеством А. Записывается это следующим образом:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.

Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам и т.д. Каждый вид является некоторой совокупностью живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества – бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечные множества могут быть заданы перечислением их элементов (например, множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале). Если множество состоит из элементов , то пишут: . Бесконечные множества нельзя задать перечнем их элементов. Их задают обычно, указывая свойство, которым обладают все элементы данного множества, но не обладают никакие элементы, не принадлежащие этому множеству. Такое свойство называют характеристическим для рассматриваемого множества. Если - сокращенное обозначение предложения «элемент обладает свойством », то множество всех элементов, имеющих свойство , обозначают так: . Например, запись означает множество корней уравнения , т.е. множество . Может случиться, что не существует ни одного элемента, обладающего свойством (например, нет ни одного нечетного числа, которое делилось бы на 2). В этом случае во множестве нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Его обозначают знаком .

Если элемент принадлежит множеству , то пишут: , в противном случае пишут: или . Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными (совпадающими). Например, равны множество равносторонних треугольников и множество равноугольных треугольников, так как это одни и те же треугольники: если в треугольнике все стороны равны, то равны и все его углы; обратно, из равенства всех трех углов треугольника вытекает равенство всех трех его сторон. Очевидно, что равны два конечных множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком их элементов, например .

Всякий квадрат является прямоугольником. Говорят, что множество квадратов является частью множества прямоугольников, или, как говорят в математике, является подмножеством множества прямоугольников. Если множество является подмножеством множества , то пишут: или . Для любого множества верны включения и .

Из данных множеств и можно построить новые множества, применяя операции пересечения, объединения и вычитания. Пересечением множеств и называют их общую часть, т.е. множество элементов, принадлежащих как , так и . Это множество обозначают: . Например, пересечением двух геометрических фигур является их общая часть, пересечением множества ромбов с множеством прямоугольников – множество квадратов и т.д.

Объединением множеств и называют множество, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. В различных вопросах классификации используется представление множеств в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств. Например, множество многоугольников является объединением множества треугольников, четырехугольников, ..., -угольников.

Если применять операции объединения и пересечения к подмножествам некоторого множества , то снова получатся подмножества того же множества . Эти операции обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, пересечение дистрибутивно относительно объединения, т.е. для любых множеств и верно соотношение и т.д. Но в то же время у операций над множествами есть ряд свойств, не имеющих аналогов в операциях над числами. Например, для любого множества верны равенства и , верен второй закон дистрибутивности и т.д.

С помощью свойств операций над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в обычной алгебре. Возникающая таким путем алгебра называется булевой алгеброй, по имени английского математика и логика Дж. Буля (1815-1864), который занимался ею в связи с проблемами математической логики. Булевы алгебры находят многочисленные применения, в частности в теории электрических сетей.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов (например, множество вершин квадрата содержит 4 элемента). Если в множествах и поровну элементов, например если , , то из элементов этих множеств можно составить пары , причем каждый элемент из , равно как и каждый элемент из , входит в одну, и только одну, пару. Говорят, что в этом случае между элементами множеств и установлено взаимно-однозначное соответствие. И наоборот, если между двумя конечными множествами и можно установить взаимно-однозначное соответствие, то в них поровну элементов.

Г. Кантор предложил аналогичным образом сравнивать между собой бесконечные множества. Говорят, что множества и имеют одинаковую мощность, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Сравнивая таким путем множества, составленные из чисел, Кантор показал, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством рациональных чисел, хотя множество натуральных чисел является лишь частью множества рациональных чисел. Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что «часть меньше целого».

Множества, имеющие ту же мощность, что и множество натуральных чисел, называют счетными. Таким образом, множество рациональных чисел счетно. Важнейший пример несчетного множества – множество всех действительных чисел (или, что то же самое, множество точек на прямой линии). Так как прямая линия непрерывна, то такую несчетную мощность называют мощностью континуума (от латинского continuum - «непрерывный»). Мощность континуума имеют множества точек квадрата, куба, плоскости и всего пространства.

В течение долгих лет математики решали проблему: существует ли множество, мощность которого является промежуточной между счетной и мощностью континуума. В 60-х гг. нашего века американский математик П. Коэн и чешский математик П. Вопенка почти одновременно независимо друг от друга доказали, что как существование такого множества, так и отсутствие его не противоречат остальным аксиомам теории множеств (подобно тому, как принятие аксиомы о параллельных или отрицание этой аксиомы не противоречат остальным аксиомам геометрии).

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A . Тогда пишут A = B . Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a , b , c допускает шесть видов записи:

{a , b , c } = {a , c , b } = {b , a , c } = {b , c , a } = {c , a , b } = {c , b , a }.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества A входит во множество B , то A называется подмножеством B , а B называется надмножеством A . Пишут (A входит в B или A содержится в B , B содержит A ). Очевидно, что если и , то A = B . Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B , но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A , т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B , а B - собственным надмножеством A . В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a , b } содержит два элемента. Рассмотрим множество {A }, содержащее своим единственным элементом множество A . Тогда A содержит два элемента, в то время как {A } - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .